Naturalismus

[Holmes]

Eben. Somit entzieht sich die Mathematik der "natürlichen Welt". Sie ist nicht angewiesen auf Experimente in dieser.

Also, mal so ein Bisschen aus Sicht des Wissenschaftsbetriebes: "Natürliche Zahlen" sind nichts, was in der Natur vorkäme. Sondern sie sind Abstraktionen von Mengen und wie ich sie zu zählen gedenke! Insofern ist die Tätigkeit 'Mathematik' ein gedankliches Hantieren mit vorher definierten abstrakten 'Dingen'. In der Tat ist sie nicht angewiesen auf Experimente oder anderen Erfahrungen. Jedes Axiom (z. B. auch die Logik und andere Regeln) bestimmt, wie vorzugehen ist. Wie sich zeigt, kann sogar das Fallenlassen eines Axioms zu neuen (mathematischen) Konstruktionen führen.
Solche Konstruktionen können sich auf physikalische (also im weitestent Sinne) natürliche Phänomene anwenden lassen - müssen das aber keineswegs. Es gibt hunderte von Lemmata (zumeist bewiesene Lehrsätze oder Vermutungen), die nicht anwendbar sind.

Bleibt die Frage, warum sich ein kleiner Teil der Menschen mit solchen gedanklichen Konstrukten befasst. Hier dürfte gelten: Man weiß ja nie, und Kunst ist Kunst!

(1)

... Im anderen Thema haben wir ja festgestellt, dass die Mathematik die Logik als Axiom setzen muss und Logik leitet sich von der Erfahrung her ab, deswegen kann sich jegliches menschliche Denken nicht der natürlichen Welt entziehen.

Das mag in den philosophischen Tiefen korrekt sein, verlangt aber m. E. zu viel. Der heutige Mathematiker schielt ganz sicher nicht ständig auf mögliche Anwendungen, sondern ist der Eleganz und seiner Kunst verpflichtet, die er (oder sie) völlig unabhängig vom (natur-)wissenschaftlichen Tagesbetrieb vorantreibt.

(2)

Die Mathematik ist also auch auf Experimente der natürlichen Welt angewiesen, denn wenn unsere traditionellen Systeme der Logik versagen, dann versagt auch die Mathematik, ...

Nein, du vergisst, dass es eine ganze Reihe solcher Regel-Systeme gibt, wie die "mathematischen Dinge" miteinander zu verknüpfen sind. Insofern versagt die Mathematik nie. Auch der Gödelsche Unvollständigkeitssatz zeigt nicht an, dass hier die Mathematik versagt, sondern die Beweisbarkeit nicht allgemein gilt. Das ist genauso Mathematik wie die arithmetische Tätigkeit des Summierens.

(3)

Ich habe deine Antworten mal nummeriert, dann geht es etwas schneller mit der Antwort. 

Zu (1):
Sinngemäß sagst du, dass die Abstraktionen in der Mathematik nur noch rein gedankliche Konstrukte sind, dass ist mir aber ein bisschen zu kurz gedacht, denn was genau meinst du mit rein gedanklichen Konstrukten? Meinst du mit rein gedanklich, dass sie vom Menschen "erschaffen" worden sind? Kannst du das etwas genauer erklären? Mein Argument dazu war ja, dass sie nicht rein gedanklich sein können, weil sich bestimmte Axiome eben auf die Erfahrung reduzieren lassen und das meinte ich ja damit, wenn ich sage, dass die Logik sich darauf reduzieren lässt. Ich verstehe den Term "rein Gedanklich" auch nicht, als könnte man etwas denken abseits jeder Erfahrung, dass halte ich für falsch. Man kann zwar die Erfahrung abstrahieren, aber sich nicht von ihr loslösen, denn der Input, den kann man ja nicht von anderer Stelle bekommen.

Ob man jetzt sehr viel weiter abstrahiert hat ja nichts mehr mit dem Problem zu tun, denn es geht ja um den Ursprung und der Ursprung ist eben die Erfahrung. Die Mathematik entzieht sich deswegen natürlich auch nicht unserer Welt, sondern baut eigentlich äquivalent zu den Naturwissenschaften ein System aus, dass eben seine Grundlagen auf einem Axiom aufbaut, dass eben natürlich abgleitet worden ist. Da sich die Axiome auf die Logik reduzieren lassen ist die Mathematik also auch auf Experimente angewiesen, denn wenn sich eine bestimmte Folgerungsart als falsch erweist, dann muss sich die Mathematik anpassen.

Als Beispiel: Ich folgere, dass ich folgere, weil ich folgere. Kann ich nun Folgern, dass ich folgern kann? Und wenn ja warum? Weil es eben klappt. Die Sonne scheint, weil sie scheint kann ich überprüfen, also es Testen, wenn es nicht klappt, dann klappt auch meine Methodik nicht. Ich kann meine Methode also empirisch falsifizieren. Ich sehe da keinen Unterschied zu einer experimentellen Überprüfungen der Naturwissenschaften. 

Zu (2):
Ich denke nicht, dass sie ein Mathematiker der Kunst verpflichten will, nur weil er er möglichst weit abstrahieren will. Wenn Kunst unter diesen Rahmenbedingungen bedeutet, dass man möglichst weit weg von der Erfahrung forschen will, dann handelt er sich eben Fehlschlüsse ein, denn wie oben beschrieben, wenn die Methodik nicht funktioniert wie sie soll, dann sollte man sie am besten empirisch anpassen und nicht weiter machen weil es "Kunst" ist. 

Zu (3):
Mir ist klar, dass wenn du per Definition alle Folgerungsmethoden der Mathematik zuschreiben willst, dass die Mathematik dann natürlich nie versagen kann, weil deine Definition eben ein bisschen zu weit gefasst ist. 
Als Beispiel: Wenn die traditionelle Logik sich unter gegeben Gesetzmäßigkeiten als falsch erweisen würde, dann würden eben Teile der Mathematik versagen, die unter dieser Voraussetzung gefolgert wurden, aber wenn du nun sagst, dass die Mathematik sich dann der richtigen Folgerungsmethodik annimmt, dann wird sie natürlich immer "richtige" Folgerung treffen können, denn deine Definition ist Tautologisch. Die Mathematik kann also nie versagen, weil sie mit deiner Definition eben nie versagen kann.